LA MÉTHODE DE DARBOUX, ETC. 



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Dans un mémoire, publié en Avril 1871, M. Falk ^arriva 

 au système III. Il essaya en premier lieu d'intégrer une équation, 

 linéaire pour les dérivées du n e ordre, en appliquant la même 

 méthode qui fut employée par Boole pour celles du 2 e ordre ; 

 il arriva ainsi à un système d'équations aux dérivées partiel- 

 les du premier ordre, et de là à un système d'équations diff- 

 érentielles totales. Pour intégrer maintenant une équation aux 

 dérivées partielles non linéaire, il la difïérentie totalement par 

 rapport à x et à y, et applique à présent à ces équations, 

 linéaires pour les plus hautes dérivées, la même méthode que 

 pour les équations linéaires. La différence entre la première 

 méthode de Darboux et celle de Falk consiste donc uni- 

 quement en ce que M. Darboux appliquait à l'équation diffé- 

 rentiée du 2 e ordre la méthode, donnée par Ampère pour 

 l'équation linéaire, tandis que M. Falk employait la méthode 

 de Boole. 



Toutefois, le développement indiqué par Falk n'est pas 

 clair; il appliquait simplement des formules, obtenues pour 

 intégrer des équations linéaires pour les plus hautes dérivées, 

 à une équation difïérentiée non linéaire, sans indiquer com- 

 ment on pouvait trouver ainsi une intégrale générale ou 

 arriver à une méthode générale d'intégration. 



L'idée de M. Darboux a été mise en relief d'une manière 

 plus saillante et plus claire dans un mémoire de M. A. Pic art 2 ) 

 „Sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du 

 second ordre", dont un extrait sommaire seul a été publié. 



Il cherche, pour l'équation du second ordre, deux autres 

 équations du second ordre telles, que les valeurs de s et t, 

 déterminées à l'aide de ces trois équations, satisfassent à 



d r _ d s ^ d s dt 



dy dx d y dx 



1 ) Falk. »On the intégration of partial differential équations of the 

 nth order". Nova Acta Regiae Soc. Ups. Ser. III, vol. 8, 1872. 



2) Pi car t. Comptes Rendus LXXVIII, 882-884, 1874. 



