LA MÉTHODE DE DARBOUX, ETC. 319 



Puis on a : 



7 7 ^ S J J J. ^7 ^ 7 



dr — ~d x + — a w, d s =— d x -+-— - a y. a £ ~—d x-h—d y, 



d x ^y d % ^ y <ty 



équations qui, à cause de (3), se changent en 



J ^ T 1 S J J ^ r J ^ S J J 1 ^ S 7 ^7 



dr—-- d x-\- — a y, d s= — a x-\- — a y, d tz=z-~ d x-\- — - d y. 

 ^x ^y ^y à y 



Multipliant par un facteur indéterminé m et ajoutant, on 



obtient 



dr +- mds = ^ d x -\- ^ ( d y -\- mdx \ m \S dy , 



^ x ^ x\ J J d x ^ 



ds -+- mdt — d x ->r\^-( dy -\- mdx\ H- m X~ du . 



y *y\ / *y 



Déterminons maintenant m de manière que les équa- 



^ T 



tions (2) et (4), indépendantes des dérivées — - etc., soient une 



o x 



conséquence l'une de l'autre. Il faut alors les relations 

 d x dy -h mdx m dy dr + mds ds -h mdt 



ïr ~ds \ày) 



Eliminant m entre les trois premiers membres, il vient 



ïr\dx) ïs\dx)^ 1 j 



Soient ^ et p 2 ^ es racines de cette équation, d'où, d'après 



(5), ^ ( u 2 = m et mi et m 2 les valeurs de m qui corres- 

 pondent aux racines ^ = et ^ 2 , on aura 



m 2 = [*i et m-^ =: u 2 , 

 ce qui change (5) et (6) en 



(^ + m 3 &)^H-(g)d a =0,j 



dy = ?7ij dx, j 

 Archives Néerlandaises, T. XXVII. 22 



