LA METHODE DE DARBOUX, ETC. 



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par rapport à x ainsi que par rapport à y. Des équations 

 nouvelles ainsi obtenues on pourra alors, à cause de 



d Zp.q = z p + \. q d x + Zp. q + i d y , p q < 2, 



déduire des intégrales. 



Cette méthode est donc tout à fait conforme à la première 

 méthode de Darboux et conduit directement au système III. 



M. Julius Kônig l ) arrive également au système II en 

 recherchant des équations du second ordre qui donnent, avec 

 l'équation donnée du second ordre, pour r, s et t des valeurs 

 qui fassent des équations 



dp = rdx-\-sdy, dq — sdx + tdy, dzz=pdx + qdy 



un système d'équations différentielles totales. 



La méthode concorde avec celle de Picart et par suite 

 avec la seconde dérivation de Darboux. 



Soit donnée l'équation 



f (a, V, h P, 9> r, s, t) = 0 2 ), 

 et soient u — a, v =z b les équations à déterminer, on obtien- 

 dra en différentiant totalement par rapport à x et à y : 



\d X / ~drï)X ès'èx ^ t~è X ' 



(*J\ + ±îlr ^ If + U^± = Q 

 \^ y / ^r~dy ' ^s^y ^t^y ' 



/ d u\ B it c> r i ^ u~d s ~d u~d t ^ 



\dxj c> r c> X c> S ^ £C <H <) # ' 



\à y / ? r ? ^ s~d y d t ^ y ' 



(H) 



c> t> ^ r ? d c> s 3 t> (H ~ 



5T~ c h r7 + —, — = 0, 



d rô X d S d X d td X 



x ) J. Kônig, „Tlieorie der partiellen Differentialgleichungen zweiter 

 Ordnung. Math. Annalen, bd. 24, 1884. 



2 ) M. K ô n i g effectue les opérations suivantes sur l'équation de la forme 

 r = f î/, 2, p, q, s, t), u et v étant supposées ne pas renfermer r. 



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