LA METHODE DE DARBOUX, ETC. 



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i CA j 



A.U.H^'-^^m^.-O (6) 



/ M \ m 



Il suit de là que, puisqu'il faut que m, =m 2 , l'équation 

 caractéristique doit avoir deux racines égales et qu'on aura 

 par conséquent 



Si nous intégrons cette équation, l'équation aux dérivées 

 partielles donnée sera le résultat de l'élimination de m entre 



r H- m s = 2 F(x, y, z, p, q, m) — m ~ et s + m t = ~ , (7) 



équations dans lesquelles F est une fonction arbitraire. 



Il est, en même temps, évident que m est la racine de 

 l'équation caractéristique de (7), car si on met (7) sous la 

 forme 



F 



r -h 2 m s + m 2 t=z2 F, s-t-mt= — , (8) 



d m 



on aura, en différentiant la première équation de (8), à 

 cause de la seconde : 



et l'équation caractéristique de (8) devient 



a 2 — -L a -h -l = 0 ou « 2 — 2 m a + m 2 = 0, 

 c» r ^ s d t ' 



de sorte que a = m, ainsi que cela doit être. 



Si les racines sont égales, la première des équations (4), 

 savoir A J m = 0, sera satisfaite également. 



En effet, il est évident que l'expression 



m \ ~^ — — m i ^ + -^r 1 ) H- ( m 2 — i— mî — -^H-— T « ) 



