LA METHODE DE DARBOUX, ETC. 



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Or ceci est le système auxiliaire de l'équation aux dérivées 

 partielles 



4_ m + ( p + m q ) + (2 F — m F m c- + 



F» r +2 »r ) — = 0 , 16 



à laquelle on ramène ainsi l'intégration de l'équation (13). 



Pour interpréter la signification des intégrales de cette 

 équation en rapport avec l'intégration de (13), considérons le 

 système (2), développé suivant la méthode de Darboux au 

 § 1 de la première partie. 



Il est alors évident que ces intégrales sont telles qu'elles 

 aient une solution commune avec l'équation aux dérivées par- 

 tielles donnée; tandis que si ces intégrales sont 



<¥i{œ,y,z,P,q,™,a) = 0, i = (l,2, 3, 4, 5), . . . (17) 

 cela sera aussi le cas pour 



c 2 =1//, (c,), c 3 =ip 2 (c t ), c 4 = vv( c i)> c 5 = V>4 (Ci). (18). 



Pour déterminer l'intégrale générale de (13) nous avons 

 encore les équations 



dzz=pdx + qdy, dp = r dx H- s dy, d q = s d x + t dy, 



d y = m d x (19) # 



Comme nous l'avons fait voir précédemment, dans le cas 

 où l'équation caractéristique a deux racines égales, il était 

 impossible de démontrer que les valeurs de p, q, r, s, et t, 

 tirées des intégrales (17), rendent intégrables les équations (19). 

 Déterminons à cet effet les fonctions arbitraires de (18) de 

 manière que tel soit bien le cas, et nous aurons l'intégrale 

 générale de (13), qui devra avoir deux fonctions arbitraires. 

 Dans ce but, nous remplacerons x et y par les nouvelles va- 

 riables indépendantes x et c, = c, et les relations (19) de- 

 viendront : 



