LA METHODE DE DARBOUX, ETC. 



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(A). 



Pour intégrer l'équation aux dérivées partielles du 2e ordre, 

 dont l'équation caractéristique a deux racines égales, et qui 

 est par conséquent de la forme 



? F 



r-hms—2 F[x, y, z,p, q, m) — m — , 



t dF 

 s + mt — — , 



Dm 



nous déterminerons les cinq intégrales de l'équation 



rx + m Ty + ^ + m ïi +2(ir - m F m) Tp + ) 



„, Du 0 / d F DF\du A ( 

 F™ — -h 2 ( m - — ) = 0. 



d g \ d ^) D q / dm I 



Si maintenant F satisfait à l'équation de condition 



d F' m , D F' m , B 'ô 

 — h m — h — — (jt? + mq) + 2— — F + 



F 4ë)^W): + \ ■ (C) - 



on obtiendra l'intégrale générale en considérant, dans les cinq 

 intégrales, quatre des constantes comme fonctions arbitraires 

 de la cinquième et en éliminant p, q et m. 



Par l'élimination de la constante des deux dernières intégra- 

 les on a l'intégrale finale, dans laquelle deux des fonctions 

 arbitraires pourront encore être déterminées par l'équation 



^ — q ^ = 0, qui est de la forme A l \x) H- B li (a?) = 0, et 



d'où l'on déduit les relations Az=z0 et B = Ô; z q et p étant 

 exprimés au moyen de x, c et des fonctions arbitraires de c. 



§2. 



Appliquons la théorie développée ci-dessus à quelques 

 exemples. 



Archives Néerlandaises, T. XXVII. 23 



