LA MÉTHODE DE DARBOUX, ETC. 339 



a = o, q = a # 4- c , , p = — a x { \a) -h 2 « j( (a) H- c 2 , 

 y =■ — 2(p(a^ -h c'y) — xx (a) + c s , 

 2 = ^ 2 î X ( a ) — a X ( a )\ + l c 2— c i — 2a<jp(a;z -hc,) |#-t- 



— 2c, (jp(aa? + c 1 )-h2aJ(j)('a£c-hc 1 )cZîc + c 4 . 



Posant c,, c 2 , c 3 et c 4 égaux à des fonctions arbitraires de a, 

 nous aurons pour déterminer ces quantités ^ — g == L == 0. 

 d 1 L 



L'équation (25) est = 0 ou A -h B x — 0. 



Remplaçant dans L = 0, z, q et y par leurs valeurs, il vient : 



et pour déterminer les deux fonctions arbitraires nous aurons 

 donc les relations 



L'intégrale de (8) est donc 



2 = ^ 2 I X (°0 — a X ( a ) i "+" ! V2 (a) — (°0 ( a ) — 

 2 a cp (a x -f- i/; , (a)) | a? — 2 (a) 9 j a x -h i/> , (a) j + 



-h 2 a j (p\ax -j- \p l (a)\d x -j- (a), 



■y = — 2qp j a a? + ^, (a)| — a? /' (a) -f- v> 3 (a), 

 V> 2 ' (a) — a Vs' 0) — Vi' ( a ) / ( a ) = 0, 



et 



— Vi (a) Vs'( a ) = 0- 

 § 3. 



Si nous posons 



-F— — \ Rm 2 + m /S — | T, 



où i?, 5 et jP sont des fonctions de x, y, z, p et q, l'équation 

 (A) devient: 



r + m s = m 5 — T, s -j- m « = — m R 4- S; . . . (1) 

 d'où, en éliminant m, on obtient: 



rt — s 2 + Rr + 2Ss+ Tt + R T — S 2 = 0 . . (2). 



