LA METHODE DE DARBOUX, ETC. 



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de sorte que (22), à cause de (17) et (18), se change en 



doc dy _ dz d N 



T ~~ ~~ p+~Nq ~~ F (x, y, z, /V) 



ou 



fi + fi + { P + fi + F(x ' *• *• o = °' (23) 



ce qui est de nouveau l'équation (6). 

 Si les intégrales de (23) sont 



fi 2/, 2, N, 0 = 0, / 2 (a:, .y, s, iV, c 2 )=rO, 



/ 3 («» y» *i ^> c s) = 0, 



alors 



c 2 == v», (c,) et c 3 = i/N (c,), (24) 



dans lesquelles les fonctions ip sont arbitraires, seront elles- 

 mêmes des intégrales, et comme l'intégrale générale de (1) 

 renferme deux de ces fonctions, celles-ci seront indépendantes 

 l'une de l'autre. Mais alors chaque combinaison de (24) est 

 une intégrale de (1), de sorte qu'on obtient l'intégrale générale 

 de (1) par l'élimination de N entre les deux équations (24). 



§ 5. 



Démontrons maintenant la réciproque de ce qui a été 

 démontré plus haut. 



En éliminant c des équations 



/, I x, */, s, c, ip (c), x (c) \ —0, j ^ 

 h I x , 2/> c, x(c), ip{c) \ z=0,) 

 on a une équation aux dérivées partielles de la forme 



r 2 N s H- iVM + v = 0, (2) 



