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F. DE BOEK. 



une des équations (7) peut être remplacée par 



du -h m i dv = 0 (8) 



En effet, on a alors : 



du — — xdr — yds, dv = — ;rcfô — ydt : 

 et par suite : 



du -h m , dv = — # (dr -f- m l ds) — (ds -f m x dt) — 0. 



Comme dans le cas présent, m, et ra 2 ne dépendent que de 

 r et £, on a toujours une équation intêgrable, savoir 



dr — mfdt, • (10) 



que l'on obtient en éliminant ds. De plus, comme toujours, 



f=c 



est une intégrale de (7), qui cependant ne peut évidemment 

 pas servir à l'intégration de (1). En n'ayant pas égard à 

 cette dernière, on a d'abord encore une deuxième intégrale, 

 lorsque m x —c est l'intégrale de l'équation (10). Alors 



dm. „ dm. _ .„ 4 , 



__. +m,. ^'=0 (11) 



Pour que le même cas se présente avec le second système 

 auxiliaire, il faut la relation 



dm„ n dm 



5 +™^=° (12) 



L'addition de ces équations donne: 



d{m, j-m 2 ) d(m l s +m^)_ 



Introduisant les valeurs 



1 T 

 (m, +« 2 ) =-.g , m.m, = - , (13) 



on obtient après réduction: 



2 i? 2 d J + (1 - 2 i? T) = 0. 



