APPLICATION DE LA METHODE DE DARBOUX, ETC. 363 



dy — m du -+-(#+- cp') dm 

 et du H- m dv = (xp' — v) dm ; 



ou, vu que du = — x dr — y ds, dv — — x ds — y dt , 



x (dr -+- m ds) + y (ds -h m dt) = (v — ip') dm. 



On déduit d'ailleurs de (19) : 



dr 4- mds = d (r -+- wis) — s dm — (y — m y ' — m 2 / " — s) dm 

 et ds h- m dt = d (s -t- mt) — t dm = (2 y + m y" — t) dm. 



Introduisant ceci et divisant par dm, on trouve : 



x{y — my — m 1 y" —s) + y (2 y H- m y— t) = v — xp'; 



ou, remplaçant y et v par leur valeur et résolvant par rap- 

 port à q ; 



q = y' h- x {y + m x') H- (2 y 1 + m f) qp . . . . (20) 

 D'autre part, on a dz=pdx+qdy=:(p-{-rnq)dx-\-(x-t-q)')qdm. 

 Il résulte de la seconde équation (16) que 



p+mq ~(r-\-ms)x-\-(s + mt)y-\-\p=x(my — m 2 y')-j-y(y -\-rny ) + 

 ou p -\- m q = 2 x m y + cp (y -\- m y )-+- ip. 



Substituant cette valeur et celle de q déduite de (20), on 

 trouve enfin : 



dz = ! 2 xm y -h cp (y H- m./') -h \p\dx -\- (x + cp') \\p'-\-x (y-hmy')-h 



(2y -+- mx")<ï>| 



d'où, en intégrant 



2! == m/j? 2 + | y H- qp (/ H- m/') \ x -t- j q>' \ ip' -\- cp (2/'-f- my")\dm. 

 Cette valeur peut se réduire à 



z^myx"- -h | ^ + ^+m3(') | («h- 9')— w^qp" 2 — | qp" | ip-ï-cp(y-hmy')~ 



— 2mqj'y j dm. 



Pour simplifier, introduisons une nouvelle fonction en 

 posant : 



a/== qp" j i// + qp (y + m/) — 2mqp'x | , 

 ce qui met l'intégrale sous la forme 



