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F. DE BOER. 



IJ = m * -h qp (m), 



2 = m v (m) (a? -h <p' (m)) 2 + (.t + cp' (m)) —a>{m)\ 



qp {7n) 



..(21) 



Les équations (21) représentent l'intégrale générale pour 

 toutes les équations possibles de la forme (1), dont l'équation 

 caractéristique a deux racines égales. La fonction y figure 

 dans l'équation différentielle même, les deux autres y sont 

 introduites par l'intégration. 



Un troisième cas d'intégrabilité se présente si m- — c 

 est l'intégrale de (10), et que réciproquement dr — m./ 2 d t a 

 pour intégrale m, = const. On aura alors nécessairement: 



dm. _ dm, „ dm., ■ dm, _ 



En ajoutant ces équations, on obtient 



~ dt T R 1 " dr 



ce que l'on reconnaît être une identité en réduisant. 



Les équations (22) ne sont donc pas indépendantes l'une 

 de l'autre. Si on multiplie la première par m 1 et la seconde 

 par m 2 , et qu'on additionne membre à membre, on obtient 



7: 



d(m, 2 -h ra 9 2 ) d(m.m 2 ) A 



— -î — y- — -h m x m, j — - == 0, 



dt dr 



ou, après réduction 



T- d K + R i d T + { i _ 2 JKT) = 0 , . . (23) 

 dt dt 



Telle est dans ce cas la seule condition à laquelle l'équation 

 différentielle doit satisfaire. 



L'équation (23) est elle-même une équation différentielle 

 du second ordre en s ou / comme variable dépendante, et en 

 r et t comme variables indépendantes. La forme générale de 

 l'équation différentielle peut encore être déterminée comme dans 



