APPLICATION DE LA METHODE DE DARBOUX, ETC. 365 



les deux cas précédents, cette fois-ci par l'intégration de 



l'équation (23). 



Pour procéder à cette intégration, nous remplaçons r, tets 



pour un instant par x, y et z, et nous employons les notations 



ordinaires pour les dérivées du premier et du second ordre 



de ce z particulier par rapport à cet x et cet y. L'équation 



(23) devient ainsi 



q' 2 r + (1 — 2 p q) s -h p 2 t = 0 (24) 



L'équation caractéristique de cette dernière est 



q 2 u 2_ {1 __ 2pq)u ^ p , ==0) (25) 



dont /i, et ( u 2 sont les deux racines. 



Pour intégrer, on emploie encore la méthode de Darb o u x. 

 Nous avons comme premier système auxiliaire : 



dx dy-\-^ } dx [a, } dy _ dz dp 



q 2 1 — 2p q p- ~~ " q 2 {p -h ,u 2 q) q 2 (r H~ p 2 s) 



d q dr ( a, ds ds-t-p^ât 



q 2 (s + ( a 2 t) — 2p{rts' ? ) — 2q(rt— s 2 ) 



Et comme, d'après (24) et (25), r -h ( ( « , H-/t. 2 ) s -h ( u , a 2 t — 0, 

 on trouve 



dp -h ,û, dq = 0 , (28) 



équation intégrable à coup sûr, puisque ( u , dépend uniquement 

 de p et q. On déduit aisément de (25): 



d u j c£ ( u , 



donc 



^, = c 



est l'intégrale de (28). Si l'on pose encore s -+-[*, \t~X 1} on a 

 d s -\- t u t dt ~ dX n 

 dl f 2 dq 



r t — s 1 q (s -h it, t) 1 



ou, puisque r t—s- — — (s -f- u 2 2) (s 4- u^j, 



<U, 2 d /y 



