APPLICATION DE LA METHODE DE DARBOUX, ETC. 367 



u 2 u 2 



-~- r P ar — l" ( m i) et / \ par — co" (m 2 ), on obtient 



= ra, 2 y'" (mjcf m, -h m 2 2 a/" (m 2 )dm. 2 , 

 dy z=z y'" (m,) dm 1 -h co" (m 2 ) d m 2 , 

 dz — — m, (m ] ) d m i — m 2 co'" (m 2 ) d m 2 ; 



donc, si nous remplaçons de nouveau x, y et z par r, £ et s : 



r — m , 2 x" ~"~ 2m, H- 2 / + m 2 2 co" — 2 m 2 co' 4- 2co, \ 



s = -m lï " + ï '-m 2 œ" + œ', . (32) 



£ = %" -h co". ) 



Donc, pour que le cas d'intégrabilité traité ici se présente, 

 l'équation (1) doit être le résultat de l'élimination de m, et 

 m 2 entre les trois équations (32). 



Les valeurs m l et m 2 des éq. (32) sont les racines de l'équation 



R m i + m + T=0 r (33) 



ce qu'on déduit aisément de (25), si l'on considère que p et q 

 dans cette équation ne sont autre chose que R et T. Or 

 l'équation (33) est l'équation caractéristique de (1). 



Le système (7) donne, dans ce cas, les intégrales m 1 = c 

 et y — m 1 x = c, de sorte qu'une intégrale première de (1) est 



y — m 2 x~(f> (m 2 ) , 



et une autre naturellement 



y — m, #=t//(m,); 



d'où il suit que 



x = JL^LiL , y - ÏX»Z^!lJf (34) 



m , — m 2 m, — m 2 



Maintenant à l'aide de (32) nous pouvons aussi exprimer z 

 en fonction de m, et m 2 . On a en effet: 



dp d x dy d q dx ,dy 



r_ r 1- § -f— , -j-ï- = s -= h t 



a m , am { a m , d m 1 am t a m , 



Mais 



dy dx 

 dm i 2 dm i 



Archives Néerlandaises, T. XXVII. 25 



