APPLICATION DE LA MÉTHODE DE DARBOUX, ETC. 



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- m-mj ^""^ ( m i— w 2) i" d ™i 



+ m ^~^ (qpo? / +jm î q>(o w dm i —m 2 f(pco'"dm i ) + y 2 j(y—y)y%'drn i . 



Réduisant et ajoutant des termes, dépendants de m 2 seulement, 

 pour obtenir la symétrie nécessaire, on a enfin 



H- j* m 2 (p co'"d m 2 — m 2 J(jp co'"d m 2 ; -h^kj^x'd m x H- Vs j^ 2 cû'"d m 2 



-h Vs ^ 2 z " + V 2 <j> 2 o>"— vi | ip fdm—y f<pœ'"dm i . . . (35) 



Les trois équations (34) et (35) représentent ensemble l'in- 

 tégrale générale de toutes les équations de la forme (1). qui 

 satisfont à la condition (23), excepté seulement celles qui 

 sont comprises dans les deux cas traités précédemment, ainsi 

 que celles où m t et m 2 ont des valeurs constantes ; ces der- 

 niers cas sont traités ci-après. 



On aurait encore un cas d'intégrabilité si, en égalant m t et 

 m 2 à une constante, on obtenait des intégrales de (10) et que, 

 par conséquent, m 2 fût une fonction de m,. Mais nous avons 

 vu que les équations (22) se déduisent l'une de l'autre. Donc, 

 non seulement l'équation (IL) et l'une des équations (22) 

 seraient satisfaites, mais encore l'autre équation (22) et l'équation 

 (12), et il en résulterait que ou bien m t 2 = m 2 2 et par suite 

 m 1 ■=. m 2 puisque m i = — m 2 ne peut avoir lieu ici, ou bien que 

 m 1 et m % ont des valeurs constantes, ou enfin que l'une 

 d'elles est égale à zéro, 



Dans ce dernier cas, l'équation différentielle ne contiendrait 

 pas t. Appelons donc m 2 la racine de l'équation caractéristi- 

 que, qui disparaît; le premier système auxiliaire prend alors 

 la forme 



dx dy dz dp d q dr m i ds d 8 -t- m t dt 



T ~~ 0 — " p r~~~ T ~~ 0 ~~ Ô 1 



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