APPLICATION DE LA MÉTHODE DE DARBOUX, ETC. 371 



qui correspond à m 2 = oo , peut évidemment être traitée de 

 la même manière. 



Si les quantités m, et m 2 sont constantes toutes les deux, 

 l'équation (1) prend la forme: 



sz=ar-\-bt-\-e. 



Le premier système auxiliaire donne alors les intégrales 



y — m 2 x — c, u -+- m , v = d ; 



mais il est à remarquer que dans ce cas il existe d'autres 

 intégrales, qui se présentent moins immédiatement mais con- 

 duisants plus rapidement à l'intégrale finale. Le premier système 

 auxiliaire est encore vérifié par 



p -h m, q — (m, x -h y) e = c"; 



une premier intégrale est donc 



p -f- m l q = (m l x H- y) e H- cp (y — m 1 r), 

 et il en est de même évidemment de 



p -h m 2 q = (m 2 x -h y) e -{- xp (y — m t x). 



Les valeurs de p et de q, tirées de là et substituées dans 

 dzrzzp dx ■+■ qdy, donnent, si nous introduisons pour qp et ip 

 d'autres fonctions, 



d z —(ydx+xdy) e 4- ip f (y — m , x)d(y— m 1 x) -h cp'(y — m 2 x)d(y — m 2 x) , 

 donc 



z =. e x y \p (y — m, x) -h qp (y — m 2 x) . . . . (38) 



On sait que ce résultat peut être obtenu aussi par la méthode 

 de Monge; cette méthode est du reste absolument la même 

 que celle que nous venons de suivre, du moment que l'on a 

 affaire à des équations linéaires et que l'on peut éviter d'in- 

 troduire des intégrales qui contiennent r, s ou t. 



Si les quantités m, et m 2 n'étaient pas seulement constantes 

 mais encore égales entre elles, alors ni (38) ni (21) ne pour- 

 raient plus servir. Dans ce cas le système auxiliaire a toute 

 une série d'intégrales, dont nous pourrons encore laisser de 

 côté celles qui contiennent r, s ou t. 



