372 



F. DE BOER. 



Nous conservons donc 



y — m x == c, p H- m q z=. e (m x -h y) -f- c 



et 



s — + m q) x -j- e m x 2 == c". 



Dans ce cas nous avons ainsi pour intégrales de l'équation 

 différentielle 



p -h m qz=e(m x -h y) -h cp {y — m x), 

 z {p + m q) x — em x 2 H- y (y — m x). 

 L'élimination de p -\- m q donne l'intégrale finale 

 z=zex y + x y (y — m x) + y (y — m x). 



Il ne serait pas facile de découvrir, au premier coup d'œil, 

 d'autres cas d'intégrabilité que ceux que nous venons de traiter. 

 La méthode de Jacobi nous donne cependant le moyen de 

 rechercher directement s'il en existe encore. Nous allons appli- 

 quer cette méthode aux deux équations (5), et de cette façon, 

 déterminer le nombre des intégrales communes, dans les 

 différents cas. 



Si nous représentons symboliquement les deux équations 

 par 



w — 0 en A 2 iv = 0, 



nous aurons à faire subir aux coefficients de la première 

 l'opération exprimée par le symbole A 2 , et sur ceux de la 

 seconde l'opération exprimée par A , , puis à prendre la différence 

 entre les deux résultats. 



En développant les équations (5), on trouve 



d w dw , .dw . .dw . ,Aw _ \ 



dx l dy XL 2 *dz v dp J d q 



„ dw dw dw - 



d r 1 ds dt 



; (39) 



L'opération de Jacobi appliquée à ces équations donne : 

 dw /dm, n dm. ) \ dw (dm, „ dm^\ 



