APPLICATION DE LA METHODE DE DARBOUX, ETC. 373 



v , v /dm. , dm.\ i dw 



\ / \ ,/dm. _ dm.\)dw . 



+ ; (»,-»,)+ *(^»», 2 +-df)j^=°- • < 4 °) 



w. - , . .dm. yn dm.~ 



D abord, si m,=m., on a aussi —=-*■ m , 2 H = 0, 



12 dr 1 dt ' 



et l'équation (40) devient une identité. Dans ce cas les équations 

 (39) ont le plus grand nombre possible d'intégrales communes, 

 à savoir six. L'une d'elles est comme toujours l'équation diffé- 

 rentielle originelle, où le second membre 0 est remplacé par 

 une constante arbitraire. Des cinq autres nous avons déjà 

 donné les trois suivantes : 



m = c, y — m x =z c', u H- mv — : c ft . 

 Les autres sont 



r -h m s = c"", z — + mq) x H- 1/2 % 2 ( r H~ 2 m s -f- m 2 1) = c"". 

 Si dans une de ces intégrales le premier membre devenait 

 égal à une constante, il viendrait de ce fait une autre inté- 

 grale à sa place ; ainsi, par exemple, si m était une constante, 

 on aurait 



p 4- mq — e (m x -\- y) =z c"'". 



En second lieu si 



dm. „ dm 2 A 

 —~ m, 2 + —tt = °; 

 dr 1 dt * 



sans que l'on ait m l = m 2j (40) se transforme en 



dw dw A .... 



j], m >-d- q = 0 > w 



ce qui fait une nouvelle équation à ajouter à celles du sys- 

 tème (39). Maintenant en aucun cas le nombre des intégrales, 

 y compris l'équation / == c, ne peut dépasser cinq. En appli- 

 quant l'opération à ces équations prises deux à deux, on trouve 



dw /dm. . dm.\ 

 à 



d £(m,-m 1 ) = 0 (43) 



w /dm. , dm.\ A , An . 



