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On peut tirer de là eneore une nouvelle équation, à savoir 



(A^-Am^^O. 



Si Ton avait Am x = 0 , cette équation serait une identité, et 

 l'on aurait les deux intégrales nécessaires. Nous avons trouvé 

 antérieurement 



m x —c, u H- m t v = c'. 



Nous avons ainsi retrouvé tous les cas d'intégrabilité pré- 

 cédents, et nous voyons qu'il y en a encore un, notamment 

 lorsque 



AK X — Am 1 = 0, . . (48) 



sans que Am l disparaisse. 



Ce dernier cas d'intégrabilité se subdivise encore en deux 

 autres, qui doivent être traités différemment. En premier lieu, 

 nous avons à considérer le cas où K l — m 1 est une constante, 

 en second lieu celui où il n'en est pas ainsi. Le premier cas, 

 qui est le moins général, sera traité en premier lieu et nous 

 supposerons que dans l'autre système auxiliaire, l'expression 

 correspondante K 2 — ra 2 soit constante également. 



Commençons pas chercher quelles sont les conditions aux- 

 quelles l'équation (1) doit satisfaire pour que ce cas se présente. 

 Nous représenterons par M 1 et M 2 les valeurs constantes de 

 m, — K, et m 0 — i*T 0 et nous aurons 



LA m, 



1 m 



t — A ( Lm i)~ m i = — if 1 , 



l—AL 1 — AL 



ou 



A (Lm x ) — m x — — M 1 (1 —AL), 



ou encore 



d ( m > L L * + d S™iB _ m - — m ( d J? m % , d k _ A • 



d (m 2 L) mJ + dJ^L) _ mi = Mi (dL + dl _ x y 



et de même 



dr 2 dt 



