APPLICATION DE LA METHODE DE DARBOUX, ETC. 379 



_ (1 - 4RT)R(m l -M 1 )(m % - M % ) 



Cette équation, considérée comme une équation différentielle 

 en f comme variable dépendante et en r et t comme variables 

 indépendantes, nous allons tâcher de l'intégrer. Nous laisserons 

 de côté la constante arbitraire C, parce qu'il est possible de 

 passer de ce cas particulier au cas général par une légère mo- 

 dification. Nous remplacerons encore une fois r, / ou s, et t 

 temporairement par x, z et y, et nous emploierons les nota- 

 tions ordinaires pour les différentielles de ce z par rapport à 

 cet x et cet y. L'équation (51) devient ainsi 



2 /1 o n 2; f 1 — 4m)p(^i-^,)(w 2 -M 2 ) ™ 



q 2 r _t-( 1 — 2pq s+ p 2 1= ±\£ — \ u it^-Tj---- 



? -r\ rit-rr x (M-j + M + M l M 2 y 1 ' 



Dans la suite nous représenterons par G le dénominateur du 

 2^ membre, m, et m 2 sont maintenant les racines de 



p m 2 -j- m + q = 0. . . . * . . . . (53) 



Le cas limite M x = M 2 = oo , qui n'est compris que comme cas 

 limite dans le cas général, sera traité séparément et en premier lieu. 

 Nous considérons donc tout d'abord l'équation 



q 2 r+(l— 2pq)s^-p 2 <= ( 1 "" 4 ^ g)y > .... (54) 



et nous commencerons par la simplifier en prenant z et y 

 comme variables indépendantes. 

 Si l'on pose 



dx dx n d 2 x d 2 x ~ d 2 x q 



dz~~ 9 dy~~ Hi Tz 2 ~~ ' dJdy-~ ' dy 2 ' 



alors 



Q R QR — PS 



P — h > î = - -5> T — - 



p ) 1 p ï ' pi) ' ° p3 



Q 2 i2 — 2PQS + P 2 T 



