APPLICATION DE LA METHODE DE DARBOUX, ETC. 387 



à l'aide de laquelle (75) peut être réduite à 



Il est inutile de chercher d'autres équations. Nous savons 

 d'avance que nous n'en trouverions pas. 



Traitons le système formé par la seconde équation (73), 

 et de (74), (76) et (77), de la même manière que nous avons 

 traité le système (67), nous trouvons alors les deux intégra- 

 les communes 



x — ^£ = 0 et l u i 3 z 3 (r 4-^, s) -+- 2 z 2 — ^ = 



Dans le cas général on trouve sans trop de peine que (72) 

 a pour intégrale 



Si l'on compare maintenant les intégrales dans les deux 

 cas traités isolément, il vient l'idée que" dans le cas général 

 il pourrait bien y avoir une intégrale de la forme 



où u et v sont fonctions de p x et <w 2 seuls. La seconde équa- 

 tion (72) est évidemment vérifiée par cette intégrale. Si dans 

 la première équation (72) on introduit pour w l'expression 

 que nous avons posée ici égale à une constante, et si l'on 

 ordonne le premier membre suivant les puissances de G, on 



d u 



voit que le coefficient de G 3 est ^ 2 2 (r H- ^ 2 s) (r -h ^, s) — . 



Pour que ce coefficient soit nul, il faut que u ne contienne 

 pas p 2 . Le coefficient de G 2 devient alors 



x(l—[i } M 2 ) H- y M 2 — zp t 

 1 + M, ( i 1 



G 3 (r + [a, 1 s) u 4- G 1 v = constante, 



