APPLICATION DE LA METHODE DE DARBOUX, ETC. 399 



des fonctions connues de a et (9. 17,, V n C7 2 et V 2 peuvent 

 donc aussi être exprimés en a et |5, et il ne reste plus qu'à 

 intégrer les équations linéaires simultanées ci-dessus, une opé- 

 ration qui se ramène à de simples quadratures. De cette 

 manière x et y sont exprimés en fonction de a et /5. De (97) 

 et (98) on tire p et q et enfin on obtient z par l'intégration 

 de dz =pdx + qdy. 



S'il est donné à intégrer une équation différentielle de la 

 forme (]), et si l'on s'est assuré, à l'aide de l'équation (51), 

 qu'elle appartient à ce cas d'intégrabilité, alors on peut, ou 

 bien substituer dans cette équation les valeurs de r, s et t tirées 

 de (94), et déterminer ainsi les fonctions % et co, opération 

 par laquelle £7,, £7 2 , V x et V 2 seraient encore une fois ex- 

 primés en fonction de a et (3 ; ou bien on peut tirer r, s et i 

 de l'équation donnée et des deux équations qui déterminent 

 a et (3 ; ou encore exprimer r, s, t, a et (5 en fonction de deux 

 nouvelles variables dont le choix dépendra des cas. La suite 

 dépend alors de l'intégration du système linéaire (102), inté- 

 gration qu'il est toujours possible d'effectuer. 



Il reste encore à traiter le cas où l'équation (48) est satisfaite 

 sans que la valeur de K x — m, soit constante. Dans ces con- 

 ditions nous n'avons pas réussi à obtenir une solution aussi 

 complète que dans les cas précédents. Si nous introduisons R et 

 T dans l'équation (48) et dans celle que nous pouvons en 

 déduire par la permutation de m, et m 2 , de la même manière 

 que nous l'avons fait précédemment, nous arrivons à deux 

 équations très-compliquées qui, considérées comme équations 

 différentielles en r et t comme variables indépendantes et s 

 comme variable dépendante, sont du quatrième ordre. Nous 

 ne sommes pas parvenus à décider si, comme dans le cas 

 précédent, ces équations peuvent être réunies en une seule 

 d'ordre inférieur, ou si, cela étant, cette équation peut être 

 intégrée plus complètement. 



Cependant, encore alors, les premières intégrales se déter- 

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