APPLICATION DE LA METHODE DE DARBOUX, ETC. 401 



l'équation différentielle ne contient pas s. Nous nous proposons 

 de traiter aussi ce cas et nous supposerons que l'équation est 

 résolue par rapport à r; nous avons donc à intégrer: 



r = F(t) (105) 



Alors m, = — ra 2 est une fonction de t, que nous repré- 

 senterons par m. Les équations (39) deviennent : 



dw dw , . dw . .dw , , dw _ 



- n m -y -±-(p — ma) -, — [-(r — ms) - n — h (s — rat) — = 0, 



dx dy Kr dz v ' dp v dq 



. dw dw dw „ 



m 2 -= m t- + -77 = 0- 



dr ds dt 



(106) 



En appliquant l'opération de Jacob i, on a 



dmdw dm dw /_ _ dm\dw / ~ dm\dw „ 



-n dy~ i<ndz + V m - s it )r p -{ 2m+t u ) r q =°- {m 



Cette équation devient une identité du moment que m = 0, 

 et l'équation donnée a la forme 



r = a. 



Dans ce cas il y a six intégrales de (106), donc cinq en de- 

 hors de r = constante , savoir 



y = c, s = c', p — = c", « — /m? 4- Vs ra 2 = c*, g — sx — c"". 

 De la première, la troisième et la quatrième on tire 

 p — r x = cp {y), z — p x + V 2 r a; 2 = ip (y); 

 et l'élimination de p et r donne 



z=y 2 ax 2 -\- X(p(y) -\- yj (y\ 



ce que l'on trouve encore facilement d'un foule d'autres 

 manières. 



Si m n'est pas nul, mais égal à une autre valeur constante, 

 l'équation est de la forme 



r =: at -h b. 



L'équation (107) se transforme en 



dw dw 



m SÏ-T q = °> (108) 



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