APPLICATION DE LA METHODE DE DARBOUX, ETC. 405 



ou, en effectuant les calculs, 



r -{-# = — l/'m+ —„ log. — - — —j .... (112) 



* er a 3 al/ m + 6 v 7 



Donc, pour que ce cas d'intégrabilité se présente, il faut 

 que l'équation à intégrer soit le résultat de l'élimination de 

 m entre (111) et (112). Cette élimination est facile à faire, 

 mais conduit à une équation assez compliquée. 



Pour K on trouve aisément la valeur suivante: 



K = 2 



(a 2 m — 6 2 )Vm ' 



Dans le système (109) la quatrième équation peut être mise 

 sous la forme plus simple 



dw „ d u) 

 b -= a 2 -j- = 0. 



En opérant de la même manière que sur les équations (47), 

 que nous avons ramenées à la forme (96), nous trouvons ici 

 les intégrales 



s + j mdt =c lt 



a 2 p+b>q-x\a*(r-m*K)+b*(s^K)l-y\a 2 (s-^ 

 Si l'on pose encore 



mdt~ L, 



i 



on a pour une première intégrale de l'équation différentielle 

 a 2 p + b 2 q — x \ a 2 (r — m 2 K) -h b 2 {s . + m iT) ] 

 — 2/ U 2 — m K) h- 6* (< + iT) ) = 9 (s + I); 

 et pour une autre 



a 2 p — 6 2 g — a | a 2 (r — m 2 X") — 6 2 (s — m X) j — 

 - y \ a 2 (s + mK) — b 2 (t + K)} =ip(s — L). >) 



*) Si l'on remplace dans (110) m par — m et que l'on répète pour le 

 reste les mêmes opérations, on voit que & et a doivent alors être rem- 

 placés par bs et ae 3 , s représentant une racine quatrième de — 1, car 



