412 F. DE BOER. APPLICATION DE LA MÉTHODE DE DARBOUX, ETC. 



de sorte que nous sommes ramenés au cas précédent, avec 

 cette différence que x est changé en y et réciproquement. 



Pour terminer, comparons la méthode employée ici avec 

 celle que Legendre applique à l'intégration de l'équation 



/(r,«, *) = <>• 



Cette méthode consiste à prendre s et t pour variables indé- 

 pendantes et v z= q — sx — ty comme variable dépendante. 

 L'équation est ramenée alors à la forme linéaire 



dt 2 dsdt ds 1 ' 



que l'on intègre, si possible, par la méthode de Monge. Le 

 premier système auxiliaire de Monge, auquel cette équation 

 conduit est 



ds -f- m 1 dt = 0, dx — m 1 dy = 0, dv = — xds — ydt, 



où m t et ra 2 ont la même signification que tantôt. 



Au moyen de ce système auxiliaire on trouve maintenant 

 les premières intégrales sous la même forme que nous les 

 avons trouvées dans les cas où elles ne contenaient niz, nip, 

 ni r. Par l'échange de r et t, on les trouverait aussi dans les 

 cas où il n'y a ni z, ni g, ni t Si l'on ajoute au système 

 auxiliaire de Monge encore les deux équations suivantes : 



dz = pdx -h qdy dp = rdx H- sdy y 



ce système devient tout à fait identique à celui auquel conduit 

 la méthode que nous avons suivie, et donne par conséquent 

 tout à fait les mêmes résultats. 



