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D. J. KORTEWEG. 



(2 y — 3j<) — 8(7 — k) v ' 



v' P = l [(2/— 3 x') 3 — 4 (4/— Sx 7 ) (2/— 3 %,) + 16 /] x P . (48) 



En revenant à la première surface \p, à l'aide des formules (26), on 

 déduit immédiatement de ces équations les formules (12), (15) et (16) 

 de la partie descriptive de ce travail, auxquelles on peut ajouter la 

 formule (17) par application de (31). On arrive alors tout d'abord à 

 la formule (23), donnée à la fin de la partie descriptive comme appli- 

 cable aussi au cas des phases coexistantes. Peut-être cela semble-t-il 

 sujet à caution, parce que pour ces phases ce n'est pas v\ mais v 2 qui 

 est du même ordre que as et tf ; cette difficulté est toutefois résolue par 



A 1 t 



la remarque que y? ne contient aucun terme en v' 1 seul. 



18. De ces formules (16), (47) et (48) résultent maintenant les condi- 

 tions pour les huit cas à considérer, et Ton en déduit toutes les particu- 

 larités de la représentation graphique, décrites dans les §§ 2 — -9. Il ne 

 me reste qu'à dire quelques mots de la construction de la limite cubique : 



(2 y — 3 vJ) 3 — 4 (4 / — 3 yj) (2 y — 3 x) + 1 6 y = 0 . (49) 



En examinant cette équation de près on constate que la courbe 

 qu'elle représente possède un point double, situé à l'infini sur la droite 

 2 y — 3%' = 0. Il est donc facile d'introduire un paramètre, ce que 

 l'on obtient en posant: 



%y'-2>vJ = s, (50) 



d'où l'on déduit 



* 3 — 4*(* + 2/) + 16/= 0 (51) 



et par conséquent 



s 2 {s — 4) , <? 3 — 8* 2 + 8* 



7 = 



$(s — a)' * 12(s — 2) 



52) 



Les points de la branche de gauche sont fournis par les valeurs de s 

 comprises entre -J- oc et 2 , ceux de la branche de droite par les autres 

 valeurs. 



