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D. J. KORTEWEG. SUR LES 



à lui-même, est légèrement déplacé, de manière à ce qu'il 

 coupe la surface, la courbe d'intersection montrera deux 

 branches fermées isolées, qui toutefois conflueront en un point 

 double C si le déplacement continue. En ce point double, le 

 plan mobile est redevenu plan tangent (simple), et le point C 

 se trouve donc nécessairement sur la partie de la surface qui 

 est à courbure négative, de sorte que la courbe spinodale 

 doit passer entre les points C et A, ainsi qu'entre C et B ; 

 maintenant au point de plissement tous les trois points se con- 

 fondent, et il est par conséquent situé sur la courbe spinodale. 



D'un autre côté, la droite AB, qui a quatre points com- 

 muns avec la surface, devenant au point de plissement tangente 

 à cette surface y aura un contact de troisième ordre. On voit donc 

 que le point de plissement appartient aussi àlacourbeflecnodale. 



Dans le cas où la surface est de courbure négative en 

 A et en B, ou bien (ce qui ne peut arriver que très excep- 

 tionnellement) courbée de manière différente en ces deux 

 points, la démonstration, pour rester valable, n'a à subir 

 qu'un changement tout indiqué. 



Equation de la surface au voisinage d'un 

 point de plissement. 



2. Pour étudier la conformation d'une surface au voisinage 

 d'un point quelconque, on peut écrire son équation sous la 

 forme générale suivante ! ) : 



z = a, -\-b l x-^b 2 y-\-c l x' 2 +ç 2 xy.+c 3 y 2 +d,.x 3 -±-d 2 x 2 y + ... 1) 

 Si le point en question est un point de plissement, qu'on 

 le choisisse pour origine des coordonnées, et qu'on prenne en 

 outre pour axe des y la tangente ayant avec la surface un 

 contact du troisième ordre, et pour plan xy le plan tangent, 

 on aura l'équation plus simple 



z — c { x 2 +c?j^ 3 -\-d 1 x' 1 y-{-d ?) xy 2 +e A x A ... 2) 



i) Sur les avantages de la notation adoptée ici pour les coefficients, 

 voyez § 8, note 2'. 



