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D. J. KORTEWEG. SUR LES 



la fig. 1 (Pl. I), comme on le reconnaît le mieux en ré- 

 solvant l'équation 4) par rapport à x. On trouve ainsi: 



Il est à remarquer que le rayon de courbure de la courbe 

 aux points C et D est égal, en grandeur et en direction, à 



celui du diamètre parabolique = — ^~^/ 2 ) en ^' ^ 7 



a toujours deux points d'inflexion réels 2 ) A x et A 2 , ainsi 

 qu'une tangente double K { K 2 ; pour d z = 0, les points 

 K 1} K 2 , A t et A 2 viennent se confondre avec le point C, 

 puis, quand d z change de signe, ils disparaissent à ce côté 

 de la courbe, tandis qu'à l'autre côté apparaissent, en D, des 

 points analogues. 



1) Pour le dessin de la courbe, on a pris des coordonnées orthogonales 

 et supposé que c, et d 3 , par conséquent aussi e 5 (à cause de 4c x e 6 — d\ > 0), 

 sont positifs. Cela est permis parce que l'on peut encore choisir librement 

 l'axe des x dans le plan des xy, comme aussi l'axe des z dans l'espace. ' 



2) La discussion des points d'inflexion, qui d'ailleurs ne présente pas 

 d'autre intérêt que celui du tracé exact de l'indicatrice, se fait de la ma- 

 nière la plus simple en élevant au carré, puis différentiant par rapport 



d ï x 



à y", le second terme de l'expression de -j—^ : 



v /3s 0 4c.e 6 — d\ \ 

 (4c 1 e l -d>,)y'( T °-- L £r-' y>) 



d*x d 3 _ 



dy L ~ c i /z 0 kc x e h — d 



2 c 



2 /Zo éCrfs—dj \i 



On obtient ainsi : 



4c! ^ Ci 4c] y ) \c t "" 4cî y )' 



( z 0 l± Cy e—d\ \— » 



•Vc" 4d~ y ) • 



Ce terme dans le cas en question, croît donc d'une manière continue 

 avec î/% depuis la valeur zéro (pour y k =0) jusqu'à la valeur oo (pour 



4c z 



m 4 = — — - ; il ne devient donc qu'une seule f o i s égal au premier 



J 4 c, e 5 — d* & h 



terme ^ . 



