68 



D. J. KORTEWEG. SUR LES 



par conséquent, pour la surface de l'équation 4) : 



2 ^ra 2 + 4 d z ym+2 d 3 #+12 e.y 1 = 0 ... 15) 



6 d 3 m + 24 e 5 y = 0. ... 16) 



En éliminant m de ces dernières équations, on obtient pour 

 l'équation 1 ) de la flecnodale : 



? = - ^2 V .--17) 



Les courbes spinodale, flecnodale et con- 

 nodale en seconde approximation. 



8. Comme il était à désirer que les courbes connodale, 

 spinodale et flecnodale, représentées en première approxima- 

 tion par les équations 8), 10) et 17), fussent aussi connues 

 en seconde approximation, j'ai effectué les calculs nécessaires, 

 dont voici les résultats 2 ). 



Spinodale: 



x = ^ — -r-^ y* + 



H- 1 2 l \ — */ 3 -f- 18) 



1) De cette équation se déduit immédiatement ce théorème bien connu, 

 qu'en un point de plissement la flecnodale et la spinodale (ainsi que la 

 connodale) se touchent. Il est facile, d'ailleurs, de donner une raison simple 

 pour laquelle la flecnodale et la spinodale, lorsqu'elles se rencontrent, 

 doivent toujours avoir en commun un nombre pair de points consécutifs. 

 Jamais, en effet, la flecnodale ne peut quitter la partie à courbure néga- 

 tive de la surface, ni par conséquent couper la spinodale, parce que 

 dans la partie à courbure positive les racines de l'équation 13) devien- 

 nent imaginaires conjuguées etdoiventpar conséquent, toutes les deux 

 à la fois, être ou n'être pas des racines de l'équatiou cubique 44). Le 

 premier cas se réalise, il est vrài, en certains points isolés (les points 

 fleflecnodaux de Cayley), mais ceux-ci ne forment pas de courbe. 



2) Dans la notation adoptée au § 2 pour les coefficients de l'équation de 

 la surface, les termes appartenant au même coefficient, tels que 48cî6\e s , 

 42c 1 d 1 d 3 e 6 , etc., possèdent les trois propriétés suivantes: 4°. Le nombre 

 des lettres c J c I e,,e 6 est égal pour tous ces termes; 2°. il en est de même 

 de la somme des indices: 4+4+4+5, et 3°. de même encore delà somme 

 des numéros d'ordre des lettres: 3+3+5+5. 



