POINTS DE PLISSEMENT. 



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Quand il s'agit de points singuliers qui, comme les points de 

 plissement, se présentent en général isolés (c'est-à-dire sans 

 former des courbes) sur une surface déterminée par son équation 

 en coordonnées polaires, leur apparition et disparition peut 

 toujours être interprétée comme un passage de l'imaginaire 

 conjugué au réel, ou réciproquement. Un pareil passage ne 

 peut toutefois avoir lieu que lorsque deux ou un plus grand 

 nombre des points singuliers en question viennent à coïncider. 

 Pour étudier donc, sur une surface qui change continûment 

 suivant une loi déterminée, l'apparition et la disparation de ces 

 points, on n'a qu'à considérer les points d'une singularité 

 plus élevée, où plusieurs de ces points viennent se confondre. 



Parmi les points de singularité plus élevée qui possèdent 

 cette propriété, il y a à tenir compte, en première ligne, de 

 ceux dont la production n'exige qu'une seule relation entre 

 les coefficients de la surface variable. Nous désignerons ces 

 points sous le nom de points exceptionnels 1 ) d u pre- 

 mier ordre. Toute surface d'ordre donné peut être trans- 

 formée continûment en toute autre du même ordre, sans 

 qu'il se produise d'autres po ints exceptionnels que ceux du 

 premier ordre. S'agit-il, toutefois, d'une déformation qui, au 

 lieu d'être entièrement libre, est déterminée par un certain 

 nombre de paramètres, alors, dans le passage d'une surface 



i ) D'après ces conventions, les points d'inflexion d'une courbe algébrique 

 d'ordre donné sont donc des points singuliers, mais non des points ex- 

 ceptionnels; les points doubles, au contraire, sont des points exceptionnels 

 du premier ordre, les points de rebroussement des points exceptionnels du 

 second ordre. S'agit-il de courbes de classe donnée, alors les points de 

 rebroussement et les points doubles ne sont pas des points exceptionnels, 

 les points de contact d'une bitangente et les points d'inflexion sont, respec- 

 tivement, des points exceptionnels du premier et du second ordre. D'une, 

 manière tout à fait générale, étant donné un système de surfaces qui 

 doivent satisfaire à certaines conditions, on peut, sur ces surfaces, dis- 

 tinguer des points exceptionnels du premier, du second, du troisième 

 ordre suivant le nombre des conditions supplémentaires que leur appa- 

 rition exige. 



