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D J. KORTEWEG. SUR LES 



L'équation de la surface pourra alors, d'après le § 2, pour 

 cette valeur du paramètre et en choisissant convenablement 

 le système de coordonnées, être amenée à la forme 



z — [c x x 2 4- e-2/ 4 ] + [d 2 .'r^H-e 4 ^3-h/ 6 ?/ 5 ]+ 41) 



Pour un autre paramètre, plus grand de Ap, on aura donc 

 l'équation 



z = a i +p l x+§ 2 y+y 2 xy+y 3 y 2 +d 3 xy' 1 +Ô! l y 3 -h 



-h[c,^ +e 5 y i '] + [d 2 x 2 y+e i xy* +/' 6 r]-h 42) 



dans laquelle, comme dans tout ce qui suit, les lettres grecques 

 désignent des coefficients du même ordre de grandeur que Ap. 



A la détermination des points de plissement, situés sur 

 cette surface transformée, nous appliquons maintenant les 

 équations 34), 35) et 36). Si nous supposons provisoirement 

 que x, y, m soient entre eux du même ordre de grandeur, 

 nous obtenons, en négligeant tous les termes d'un ordre in- 

 férieur à l'ordre le plus élevé 



2 c 1 m-h2d 2 a:+/ 2 = 0 ...43) 

 2 d 2 mx+2 / 3 + 12 e B y 2 +6 e^xy+2 e 3 x 2 =0 ... 44) 

 24e 5 ?/+6e 4 #-4-6<5 4 = 0. ...45) 

 Comme, de l'équation 44), il suit que x, y et m doivent 

 être de l'ordre de grandeur l^Ap, nous pouvons encore, dans 

 43) et 45), négliger les derniers termes. On obtient alors, sans 

 difficulté, la solution: 



4ê. 



^ - ...46) 



x = m = ^y ; 



6c l e'ie 5 -\-16 d\e\ - 16c,e 3 e? 

 Le point de plissement double d 3 = 0 se scinde donc, lors 

 de la transformation, en deux points de plissement simples. 



' ) Lorsqu'une pareille supposition n'est pas de mise, on le reconnaît à 

 ce que les équations se contredisent l'une l'autre ou donnent, pour quelques- 

 unes des quantités, des solutions zéro. Après coup, on peut démontrer 

 l'exactitude de la supposition, en vérifiant que, pour la solution trouvée, 

 les termes omis étaient réellement d'un ordre de grandeur plus bas que les 

 termes conservés. 



