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D. J. KORTEWEG. SUR LES 



donnent lieu à des valeurs finie s. La supposition de l'égalité 

 de l'ordre de grandeur se montre donc fausse. En admettant, 

 au contraire, que x soit du même ordre de grandeur que 

 y- et m 2 , à savoir, de l'ordre Ap, les équations 34), 35) et 

 36) nous donnent: 



• 2 d 5 y+[2 d 2 ym+y 2 +2 d^x+3 e A y 2 ~]=:0 . . . 51) 



2d z ym+2 y 3 +2 d 3 x+l 2 e.y 2 =0 ... 52) 

 6 d 3 m 24 e.y H- [6 d 2 m 2 + 18 e A ym +■ &e A x + 



+ 60f Q y 2 -r 6<5 4 ] == 0. ... 53) 



Multipliant maintenant l'équation 51) par 3c? 3 , l'équation 

 53) par c , , et soustrayant, on obtient, en négligeant le terme 



6 (d| — 4:C 1 e 5 )y, parce qu'il est de l'ordre de grandeur (Ap) 2 : 



— 6c } d 2 m 2 -\-(6d 2 d 3 — 18c,e 4 )z/??iH-(9d 3 e 4 — 60c Jq)ij 2 -f- 



+ (6^ 2 d 3 — 6c 1 e 4 ).r+3d 3 ;' 2 — 6c^ 4 =0 . . . 54) 



Mais, en vertu de 51) et de 53), on a en première ap- 

 proximation 



d, 4e- rr -, 



m = 3- ^ = _ « y, . . . 5o) 



d 3 



en vertu de 52) 



Ï3 d 3 l J 2 



d 3 2c l 



.56) 



et en vertu de 54) 



2 c,^ 2 3/2— 2c^ 3 ^+2c,(c 1 c 4 — d 2 d 3 )y 3 

 y ~ 5d 2 d 3 3 — 10c 1 dle 4 +20c5/ 6 (i 3 



Ainsi 2/ 2 change de signe en même temps que Ap, et par 

 conséquent, lorsqu'un point double de cette espèce se montre 

 sur la surface variable, il s'opère en général un passage 

 du réel à l'imaginaire. 



Dans l'équation 40), le terme constant devient maintenant 

 égal à 



2c I .24« 5 -3(2d J )' =12(Ac,e.-dl) 



et est donc de l'ordre A p. Par suite, après que la valeur de 

 m donnée par 55) a été substituée dans 40), on voit apparaître 



