POINTS DE PLISSEMENT. 85 



l'équation S — 0 représente alors un cône, qui, si £, y, £ sont 

 rapportées aux mêmes plans de coordonnées que x', y\ z , 

 est identique avec le cône 65) et par conséquent touché par 

 le plan 



* = + +-t£=:0 ...73) 

 dx dy dz 



identique avec 64). Mais la droite de contact, identique avec 

 PQ, se trouve en outre dans le plan ^4 = 0 (si x, y\ z' sont 

 regardées en A comme les coordonnées du point Q), car 

 par la substitution 



— =X= L ( x ' y z coordonnées du point Q) ... 74) 



. x' y z 



on satisfait, comme il suit de 67), à l'équation de ce plan 

 i = 0. 



Le cône S = 0 est donc touché par le plan B ■=. 0 suivant 

 la droite B = 0, A — 0, et l'on sait qu'en pareil cas son 

 équation se laisse mettre sous la forme 



S=kA 2 + 4- k 2 rj -f- jb,Ë)..-B = 0- ...75) 

 Mais alors l'équation 

 8 — 2/7 4 . 8 — A* == (2W 4 — 1) A"- a- 2 (jb,6 + 



+ k 2 7j + k^)H\B=:0 ...76) 



représente, elle aussi, un cône touché par le plan B = 0. 



L'espace décrit par les plans tangents réels d'un cône 

 du second ordre étant appelé l'espace extérieur de ce cône, 

 il ne s'agit plus, d'après 70), que de déterminer le signe de 

 S' au point £, 7/, £, c'est-à-dire, puisque ce point se trouve 

 toujours sur le plan tangent 73) du cône S — 0, dans 

 l'espace extérieur de ce cône. Or, ce signe est contraire 

 à celui du discriminant de la fonction S'. Pour 

 le cas particulier ax 2 + by 2 H- cz 2 = 0, ce théorème est très 

 facile à démontrer. Mais alors il doit être vrai généralement, 

 car le signe du discriminant n'est pas changé par les sub- 

 stitutions linéaires correspondant à une transformation des 

 coordonnées. 



