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D J. KORTEWEG. SUR LES 



pliquant l'apparition d'un point conique, une séparation de 

 parties de surface précédemment unies, ou une union de par- 

 ties antérieurement séparées. 



Après ces remarques, il est facile de poser la règle suivante : 

 A chaque solution m, n réelle, ou — ce qui re- 

 vient au même — à chaque droite réelle passant 

 par le point conique de la surface H 2 +^/" 3 =0, corres- 

 pondent quatre points de plissement. De ces qua- 

 tre points, deux sont constamment imaginaires, 

 les deux autres sont réels ou imaginaires suivant 

 le signe de «; ils se présentent donc comme points 

 de plissement réels soit sur les parties unies, soit 

 sur les parties séparées de la surface, pourdevenir 

 imaginaires au moment de la séparation ou de la 

 réunion. 



25. Pour ce qui concerne, finalement, l'espèce des points de 

 plissement produits lors de la transformation d'un point conique, 

 voici la règle simple qui la fait connaître: 



Les points de plissement qui deviennent réels 

 lors de la séparation sont de la première espèce, 

 ceux qui deviennent réels lors de la réunion sont 

 de la seconde espèce. 



En effet, pour déterminer l'espèce, on a à substituer dans 

 l'inégalité 78), en vertu des équations 88) (dans lesquelles, 

 en première approximation, on peut négliger f, >/. £) les va- 

 leurs x = ux, y' — uy, z ~ uz. Cette condition 78) devient 

 alors, en n'ayant égard qu'aux termes de l'ordre de gran- 

 deur le plus élevé, 



2A ] .H k -h A 2 <0 ...110) 

 expression qui, à l'aide de l'équation 108), se laisse trans- 

 former en cette autre : 



2«A,<0. ...111) 



Or, d'après le § 24, il y a séparation ou réunion, suivant 

 qu'on a « A, ^ 0. 



