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D. J. KORTEWEG. SUR LES 



surface donnée, le point conique étant pris pour origine des 

 coordonnées, tous les termes du quatrième ordre et des ordres 

 plus élevés. Les points de plissement deviennent, par couples : 

 ou bien, réels lors de la séparation, imaginaires lors de la 

 réunion, et dans ce cas ils sont de la première espèce ; ou 

 bien, réels lors de la réunion, imaginaires lors de la sépa- 

 ration, et dans ce cas ils sont de la seconde espèce. 



Il est à remarquer, en outre, que l'espèce du point de 

 plissement ne peut jamais changer. Pour que cela fût 

 possible, il faudrait que l'expression d\ — 4c,e 5 changeât de 

 signe et, par conséquent, devînt nulle. Or, cela n'a lieu qu'en 

 des points de plissement doubles de la seconde espèce, en 

 des points d'osculation et en des points coniques; mais alors 

 il ne se produit pas de changement d'espèce, mais, dans le 

 premier et dans le dernier cas, un passage à l'imaginaire. 



27. Si nous pouvons regarder comme complètement résolue, 

 par ce qui précède, la question posée au début de cette 

 Section, il resterait à accomplir encore une seconde recherche, 

 non moins importante que la première. Il est facile de voir, 

 en effet, que la production et la disparition des points de 

 plissement sont accompagnées de remarquables changements 

 dans le cours de la courbe connodale (ainsi que dans celui 

 de la flecnodale et de la spinodale), changements qui, pour 

 chacun des quatre points exceptionnels du premier ordre, 

 possèdent un caractère différent. L'étude de ces changements 

 forme une sorte d'analyse des plis d'une surface. Le nombre 

 de ceux' ci peut-être compté au moyen de leurs courbes 

 connodales. Il y a ensuite à distinguer des plis fermés et 

 des plis non fermés. Les premiers sont limités par deux 

 points de plissement; chez les seconds, les deux branches 

 de la connodale rentrent chacune en elles-mêmes, sans que 

 les points de contact conjugués viennent jamais à coïncider. 

 D'autres cas ne peuvent pas se présenter au moins chez les 

 surfaces algébriques et lorsqu'on n'attribue pas de signification 

 spéciale au plan infini. La notion ordinaire de pli doit, bien 



