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D. J. KORTEWEG. SUR LES 



correspondante pour axe des et le plan tangent pour plan 

 X 0 Z, il est facile de voir (comp. § 2) que l'équation de la 

 surface se laisse mettre sous la formule : 



z . (F 2 (x, y, z)) = c x x 2 +d z xyi+d. 1 x- 1 y + d x x ? > . . . 112) 



En cas d'un point déplisse m entdouble, il faut qu'on 

 ait d 3 = 0 ou 4c,e 5 -~ d\ — 0, ce qui toutefois revient ici au 

 même, à cause de e 5 = 0. Mais lorsque dans l'équation 112) 

 on a d 3 = 0, et qu'on déplace l'origine des coordonnées le 

 long de la droite x = 0, 2 = 0, en remplaçant y par y •+- b, 

 l'équation conserve la même forme, et chaque point de la 

 droite doit par conséquent être regardé comme point de plis- 

 sement double. En deux des points de la droite, toutefois, 

 savoir aux points où elle coupe la surface F 2 (x, y, z) = 0, 

 l'unique terme du premier ordre, z F 2 (o, b, o), s'évanouit dans 

 l'équation 112). Ces deux points sont donc des points coniques 

 de la surface, et la droite qui les joint est, comme on le 

 sait, une droite quadruple de la surface du troisième ordre. 

 Des points de plissement doubles ne se rencontrent 

 donc, chez les surfaces du troisième ordre, que sur 

 des droites quadruples. Tous les points de ces droi-r 

 tes doivent être regardés comme des points de 

 plissement doubles. 



L'apparition des points d'osculation n'offre rien de 

 particulier. La section tangentielle consiste, bien entendu, en 

 trois droites, dont deux peuvent être imaginaires. 



Les points coniques de la surface du troisième ordre 

 présentent une propriété qui n'existe pas dans le cas général, 

 à savoir, que des points de plissement réels ne peuvent s'y 

 former que lors du processus de la réunion. Cela résulte 

 déjà de la circonstance que chez ces surfaces il ne se ren- 

 contre que des points de plissement de la seconde espèce 

 (comp. §§ 22 et 25). Mais on peut aussi le déduire directe- 

 ment de l'équation 108), car, d'après 109), la quantité A 2 est 

 un carré, par conséquent positive, tandis que H \ s'évanouit 

 pour les surfaces du troisième ordre. Des solutions réelles des 



