POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. . 101 



Si dans cette expression le dernier membre est supposé 

 développé suivant la série de Maclaurin, on obtient immédi- 

 atement, en égalant le coefficient de xH-^ au coefficient ho- 

 mologue de l'avant-dernier membre, 



V 0* + 1 / 



(2 g)! (2 g— 1) ! dxfo-i (# = ô) 



d*q-l(—L- \ 



— _ 2 W+ 1/ 



~~ (2 g— 1)! * d^-i " (* = 0)' 



ce qui, sous la forme 



r 2g -i r x 2 g 

 2?_1 ~~2(2% - ; 22?— l- d^-i ^ =0 j J 



donne pour le g ième nombre de Bernoulli la même expres- 

 sion différentielle qu'on trouve, déduite par une méthode 

 différente due à Laplace, entre autres dans les traités de 

 R. Lobatto, Lessen over de differentiaal- en integraal-rekening, 

 2e Deel, le Âfdeeling, 1852, p. 374—376, et de S. F.Lacroix, 

 Traité du calcul différentiel et du calcul intégral, 2 e éd., T. 3, 

 1819, p. 107 — 114. Ces auteurs montrent ensuite comment 

 Laplace, — en établissant le (2 g— l) ième coefficient différentiel 



de la fonction — -— , d'une part sous la forme d'une frac- 



tion finie ayant (e- r + 1)% pour dénominateur et des coefficients 

 indéterminés pour les 2 g — 1 premières puissances de e x au 

 numérateur, d'autre part sous la forme d'une série infinie 



résultant du développement de cette fonction — e elle- 



1 -h e— * 



même suivant les puissances négatives de e- c , — est arrivé à 

 sa formule pour le calcul direct et indépendant d'un nombre 

 Bernoullien. quelconque. Cette formule, qui, si l'on prend de 

 nouveau la forme en T au lieu de la forme en B et qu'on 

 fasse usage de doubles signes 2' et de la notation ordinaire 



