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F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES 



pour les coefficients binomiaux, peut initialement être écrite 



2?— 1 n—\ 



offre le grand avantage de se laisser réduire, dans le second 

 membre, à la moitié seulement du nombre des termes placés 

 sous le premier signe 2 : en effet, puisque les (2 q — l)ièmes 

 puissances des nombres naturels forment une série arithmé- 

 tique de l'ordre (2 q— 1) et que par conséquent leurs diffé- 

 rences (2 grputfs sont toutes égales à zéro, on a 



o \ 1 / 



ou, vu que le terme pour r = n est ici nul de lui-même, 



n— 1 2q 



d'où il suit, si dans le second terme Z on remplace l'indice 

 variable quelconque r par 2q — r et qu'on ait égard à 



G?-r) = (/)" 



»— 1 



(- y- 1 Ç (-) r ( 2 / y ) = 



2?— »— 1 



=(— )2*-«-l (_)r / 2 2\ (2 r)2?-l ; 



0 \ r / 



on voit par là que, dans la formule en question, les termes 

 également éloignés du milieu, c'est-à-dire les termes en n et 

 en 2 q— sont toujours égaux deux à deux ; que le terme du 

 milieu, correspondant à n = q, reste donc isolé, et que par 

 conséquent Laplace a pu légitimement réduire sa formule à 

 une expression qui, mise de nouveau sous la forme en T et 

 en 2\ s'écrit: 



