POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 103 



q — 1 . n — 1 



(_ )f -i^î- !î -i=22(-)- i £(-)' p?v n _ r) %-i + 



1 1 o \i s 



+ (-)*- 1 Ç(-) r ( 2 /)(g-^) 2 *- 1 (i) 



Au reste, même sans faire appel à la série de Maclaurin, 

 l'égalité ci-dessus posée entre les deux valeurs obtenues pour 



— i tg ^ se laisse développer ultérieurement sous une autre 



forme, par exemple de la manière suivante. 

 On a 



00 



Vf f_W-l T% >~\ =1 2 =1- _J 



2 



GO 



= -^}(-lY(e^l)- , («) 



1 



Or, on peut substituer ici 



n h oo 



Cette substitution, à cause de l'absence de toute puissance 

 paire de x dans le premier membre de l'équation précédente, 

 donne d'abord lieu à remarquer que, dans le résultat, le 

 coefficient de chaque terme x s doit être égal à zéro pour 

 s = 2 q, c'est-à-dire qu'on doit avoir 



2q n — 1 



23 (- *>■ 13 ( !) (» - ^ = °> 



1 o ^ r/ 



(où pour r la limite supérieure n a pu être remplacée par 

 n — 1, parce que pour r •= n le terme (n — r) 2 Q s'évanouit; 

 tandis que pour n la limite supérieure a pu être abaissée de 

 co à 2 q } parce que, comme il a été rappelé plus haut, les 



