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F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES 



différences (2 g -h lpmes de la série des puissances (2 gjièmes^ 

 et aussi toutes les différences supérieures, s'annulent d'elles- 

 mêmes). Mais d'autre part cette même substitution, si pour 

 s — 2 q — 1 on égale entre eux les coefficients de x^— 1 , qu'on 

 tienne compte d'un abaissement des limites analogue à celui 

 dont il vient d'être parlé, et qu'on multiplie par 2 2 ?— 1 .(2q — 1) !, 

 donne la formule 



92?— 2 \ 



— ZV-1 = 



q 



2q—l n—1 l 



= ^J» (—Y- 1 22g-^-l (— )r f n \ (^_ r )2 ? -l r=(..(2) 



1 0 ^ \ ' [ 



2q—l n—1 



où, comme forme simplifiée, le dernier membre a pu être 

 ajouté à raison de 



(n \ n\ n (n — 1)! n /n—l\ 



\r ) r\ (n — r) ! n — r ■' r ! (n — r — 1) ! n — r \ r / 



Dans le second ou le troisième membre de l'équation (2), 

 pour chacune des 2 g — 1 valeurs de n le coefficient du terme 

 x 2 q— 1 , dans le développement de (e x — Vf 1 , a été exprimé sépa- 

 rément sous la forme ^ ^ . Mais ces coefficients pour les va- 

 leurs successives de n se laissent aussi très bien déduire l'un 

 de l'autre, par une formule récurrente. Prenant, à cet effet, 

 la forme de développement suivante: 



00 



(e x — iy p x s 



ni S ! 



n 



où, à cause de e x — 1 = x -h etc., on n'a réellement à faire 

 partir la variable s que de la valeur n comme limite infé- 

 rieure; et remarquant qu'on a 

 d (e?—l )» 



n\ (e x — iy— 1 (e x — 1)» (e x — W - 1 



; i px — — fi — - -|— 



dx {n - 1)! ni (n — 1)! ' 



