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F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES 



inscrits dans la ligne horizontale de cet n par le terme placé 

 au-dessus en tête du tableau, et on prend la somme de ces 

 produits. (Rappelons, en passant, que les coefficients du ta- 

 bleau sont les mêmes qui entrent dans les formules pour les 

 différences finies, d'ordre successif, d'une fonction quelconque, 

 exprimées au moyen des dérivées de cette fonction : en effet, 

 pour y =/(#), en combinaison avec y -h A y =/($ -h h), le 

 théorème de Taylor donne, lorsqu'on y applique une notation 

 symbolique, 



00 



Ay=f (x + h) -f (x) = 12 = Q " é-l^y, 



et en général, par la répétition de la même opération, 



de sorte qu'en cette question aussi on arrive, au moins sym- 

 boliquement, à une expression de la forme (e- r — 1)" considérée 

 plus haut. De fait, on retrouve le tableau ci-dessus lorsque, 

 prenant le tableau des coefficients p des susdites différences, 

 tel que l'établit entre autres Lobatto (p. 335) au moyen de 

 sa formule de réduction 



p —n ( p ), 



r V r—l r—\J 



on le simplifie en divisant les lignes horizontales successives 

 par leurs premiers termes 1 ! = 1, 2 ! — 2, 3 ! — 6, 4 ! — 24, 

 5 ! = 120, 6 ! = 720, 7 ! = 5040, etc. ; cette simplification re- 

 vient, en effet, au passage des coefficients de Lobatto aux 



nôtres suivant la relation p"' l) = n ! P n .s , et au passage, dé- 



r 



coulant immédiatement du premier, de sa formule de réduc- 

 tion en p à la nôtre en P. Au sujet du tableau ci-dessus 

 donné, j'ai d'ailleurs encore trouvé cités: Lacroix, p. 124 et 

 300, et L. Euler, Differmtialrechnung, 2 e1 ' Theil, 1790, p. 59—63). 



