POUK LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 107 



En substituant maintenant à (e x — l) n , dans la formule («), 

 son expression en coefficients P, on obtient 



0 v ' 1 n 



Dans celle-ci, nous n'insistons pas de nouveau sur la dis- 

 parition nécessaire du coefficient complet de toute puissance 

 paire de x dans le second membre ; par contre, en y égalant 

 l'un à l'autre les coefficients de la puissance impaire géné- 

 rale x 2 *!— 1 dans les deux membres, après le même abaissement 

 de limite pour n et la même multiplication par 2 2 7~ 1 . (2q — 1)! 

 qui ont été effectués en (2), nous arrivons à conclure : 



2*7—1 



?!!ZÎ T 2q -i = Y» (—) u - 1 22?-»-i n\P n .*q-\ ..(2') 

 q 



Cette formule, qui en réalité n'est qu'une autre forme, une 

 forme récurrente, de la forme indépendante (2), n'a donc besoin 

 d'emprunter chaque fois au tableau ci-dessus que l'ensemble des 

 coefficients P d'une même colonne d'ordre impair 2 q — 1 : pour 

 l'application dont il s'agit ici, toutes les colonnes paires sont 

 superflues, et cela nous conduit à construire directement un 

 tableau plus condensé, en conservant toutes les lignes horizon- 

 tales, mais seulement les colonnes impaires. A cet effet, notre 

 formule de réduction pour P, qui ramène de s à s — 1, doit 

 être remplacée par une autre,, sautant chaque fois de s à s — 2 ; 

 or, une pareille formule s'obtient en différentiant de nouveau 



' (qx — \\n 



le premier coefficient différentiel de - — ] , trouvé plus 



haut, et en substituant dans le résultat ce coefficient différen- 

 tiel lui-même, tant pour n que pour n — 1; il en résulte 



d2 (g* — i)* d (e* — iy d (&* — 3>-i 



