POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 109 



Après avoir tiré du développement de (a) ce qui convenait 

 à l'objet que nous avons en vue, passons à l'établissement 

 d'autres formules, plus simples, pour le calcul indépendant 

 des coefficients des tangentes et par conséquent aussi des 

 nombres de Bernoulli. Nous commencerons par chercher, 

 — parce que nous aurons plus tard à faire un usage répété 

 des résultats de cette recherche, — le développement, tant 

 sous forme indépendante que sous forme récurrente, d'une 

 puissance quelconque du sinus, en fonction des puissances de 

 l'arc. A cet effet, la formule 



n 



(2 i sin x) n = {&* — e—**)»= ( — ) r ( n j r ( e - •*)*■ = 



o ^ 7 ' 



> n QO 



Sl/fb x 



peut servir de point de départ. Mais, comme etparcon- 



x 



séquent aussi (^~~^ ne contiennent que les puissances 



paires positives de x, il ne peut entrer dans le dernier membre 

 de la formule que des puissances de la forme x n + 2s . En y 

 remplaçant donc s par n + 2 s, renversant l'ordre des deux 

 sommations, et divisant par i n , on obtient d'abord 



{isinxy = -J^L-Ç (-yÇ) (n-2r)*+*. 



Dans cette formule, toutefois, le nombre des termes placés 

 sous le second signe 2 peut être réduit de moitié, parce qu'on 

 a toujours 



{—Y ) (n— 2 — (__) w -r ^ * ^ ^ n _ 2 ( 7l _ r )) w +2* j 



c'est-à-dire, que deux termes en r et n— r, également éloignés 

 du milieu, sont toujours égaux l'un à l'autre; en divisant donc 



