110 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES 



par 2, et remarquant qu'en cas de n pair le terme du milieu, 

 pour r=r -, s'annule de lui-même, et qu'alors il est en outre 



permis d'écrire partout n — 2 r -= 2 — r ^ , on trouve 

 ((pour n impair) \ 



n—l 

 2 



2,v 



2 li — l sin n x ==< . )..(|5) 



(pour 9i pair) 



1 



2 



n+2s 



Cherchons maintenant, pour la même fonction sin n x, le dé- 

 veloppement avec coefficients récurrents. Posons, à cet effet, 



puis faisons usage de 



^ 2 sin n x ^sin n — l x cos x 



n\ (n — 1 ) ! — sin n x -f- (n—l )sin n ~hi 1 — sin 2 x) 



dx' 1 dx (n — 1)! 



2 sin n x sin n —% x 



TT (n — 2)! ' 



nous aurons, par substitution, 



2^ (,1+27-2)! = -' <2 ^ ( - )sQ >'-'' + \nT2s)l 



OO 



^»+2*' — 2 



+ / * ( — )* Q,i— 2.»+2s— 2 



(n -j- 2 s— 2) ! 



