POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 111 



Si clans le premier terme du second membre de cette équa- 

 tion on remplace l'indice variable s par s — 1, afin de pouvoir 

 égaler entre eux les coefficients de x n + 2s — 2 dans les deux 

 membres, l'expression de cette égalité donne la formule de 

 réduction 



Q n . « 4. 2 s = U' 1 Qn.n + 2s — 2 + Qn— 2 . n +2* —2 



pour les coefficients Q. Bien que cette formule, combinée avec 

 (/?'), convienne tout aussi bien pour les valeurs paires de n 

 que pour les valeurs impaires, il faut reconnaître que pour 

 n pair l'introduction de coefficients numériques plus petits, Q\ 

 est possible et, dans l'application, préférable. Supposons, en 

 effet, qu'en ce cas chacun des nouveaux coefficients Q' soit lié 

 au coefficient primitif homologue Q par la relation Qn.n + 2s == 

 = 2 2s Q'n.n + 2s (où l'exposant de 2 est donc toujours égal à 

 la différence des deux indices de Q ou de Q') ; on peut alors, 

 en premier lieu, écrire la formule ((3'), en la multipliant par 

 2 W , sous la forme 



[îsinx)n__ yv (2 



— i 2-, (-) ( ^2^î • ) 



et, en second lieu, calculer les coefficients Ç', qu'elle renferme 

 maintenant, par la formule de réduction 



Q'n.n+2s"= Q'n:n+2s— 2 + (?'« — 2.»+2s — 2, 



qui résulte de la formule en Q ci-dessus trouvée, moyennant 

 la division successive de ses trois termes par les trois valeurs 

 2(n+2s)-n^ 22.2(*+2*-2)— » et 20»+*— «HM, dont chacune est 

 égale à 2 2 *. En remarquant maintenant, d'une part, que dans 

 ((5') pour n = 1, à cause de 



