POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 115 



(_w-i ^ T$ll : = Y» j (-)» L3 - 5 -(2n-l) J_ 



1} (-y ( 2 v + x ) (2 n - 2 r + 1)2q ~* | — ( 3 ) 



= 23 ( — ) w (1.3.5. ..(2 1)) 2 (2 n + 1) Q2n+i.2 q -i ; . . (3') 



0 



la limite supérieure de n a de nouveau pu être abaissée ici 

 de oo à q — 1, parce que dans (3) la (2 n + l)ième différence 

 de la série; des (2 q — l)ièmes puissances des nombres impairs 

 successifs s'évanouit d'elle-même pour chaque 2n + l > 2q — 1, 

 ou, ce qui est équivalent, parce que dans (3') les coefficients 

 Q2»+i.2 0—i, à prendre dans une même colonne de l'avant- 

 dernier tableau, viendraient évidemment à manquer dès qu'on 

 aurait, ici également, 2 n -h 1 > 2 g — 1. 

 Le développement 



1 /l— cos2^__l-(l— sm 2 2aOi_V^1.3.5...(2rc~~l) ' ' 

 u V l+cos2x sm2x ^-*2.4.6...(2raH-2) 



qui ne procède plus suivant les puissances impaires ascen- 

 dantes de sin x, mais suivant celles de sin 2 x, peut, lui aussi, 

 fournir un couple de formules, à peu près de même forme 

 que les précédentes, pour le coefficient général des tangentes. 

 En effectuant exactement les mêmes opérations que ci-dessus, 

 et en outre une division par 2 3 ?— 2 , on trouve: 



l^-l _vju w 1-3.5. ..(2n-l) 1 



— r J v ; 2 . 4 . 6 . . . (2 n -h 2) * 2^-i 



( 27l+1 )(2n-2r + l)2,-i j (4) 



o v ' / ) 



q-l 



V / x (1.3.5...(2w— l)) 2 (2 7i -{- 1) n 



= 2j n 4. 1 Q*M-l-.8f-l . .(4') 



o 1 + 1 



Archives Néerlandaises, T. XXIV. S 



