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F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES 



Au lieu de la tangente elle-même, on peut, avec un succès 

 au moins égal quant à la simplicité du résultat, prendre pour 

 point de départ du calcul son coefficient différentiel: on ob- 

 tient ainsi des développements appropriés, non seulement, 

 comme plus haut, en sin x et en sin 2 x, mais, de plus, en 

 x 



sin—. On peut en effet écrire — pour ce qui concerne la 



seconde ligne en substituant à tg x le développement trouvé 

 en dernier lieu — 



GO 



- — - = / n sin 2n œ 



1 — sm 2 x 



d tg x 1 



dx 



cos l x 



2 3^=2g|44^^^2* 

 sm2x ^2.4 .6...(2n+2) 



00 



^1 _2sm |^" 2 = ^(n-f-l)2^m^^, 



où l'on a affaire, comme on voit, aux puissances paires suc- 

 cessives du sinus de x, ou de 2 x, ou de — . Prenons par 



A 



exemple la première ligne et appliquons, après remplacement 

 de n par 2 n, soit la seconde formule soit la formule 

 (/?") ; en remarquant toutefois que l'applicabilité de ces 

 deux formules elles-mêmes ne commence qu'à n = 2, donc, 

 après le susdit remplacement, qu'à n = l, d'où résulte l'obli- 

 gation de mettre séparément en évidence, dans chacun des 



trois développements obtenus pour — ^-'» I e terme corres- 

 pondant àn = 0, c'est-à-dire l'unité ; la première ligne donne 

 alors 



