POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 119 



(2 a?) 2 ?— 3 ; enfin, multiplier par ( — )v— 1 (2 q — 3)! et appliquer 

 à la limite supérieure de n l'abaissement maintenant permis 

 de oo à q — 2. Les résultats sont : dans le premier cas, le 

 système 



( _ )? -i?!!Z 3 ^ t = y£( (_)„-! l-3-5-(2n + l) _J_ 



Ç (->• ( 2 ^ ^ X )(2 n - 2 r + 1)^ -3 | (8) 



= 2 ^} (— J»- 1 (1 . 3 . 5 . . . (2 n + 1))2 ^+1.2^-3, . . . (8') 



0 



et dans le second cas, le système 

 (_)*-! ?W = Si ( f _w-i 1.3.5...(2n + l) 



2.4.6...(2m + 4) 22^-2 

 ) r ( 2? ' ) +1 ) (2n — 2r + l)%-3 J (9) 



o 



q-2 



oo VS ^ i (1.3.5...(2n+ 1)) 3 ~ /0 m 

 = 22 ^ ( - )B ~ 1 g , + «)(2> + 4) <^ + i. ag -3 ... (9) 



Si l'on voulait opérer d'une manière analogue sur les coeffi- 

 cients différentiels plus élevés de tg x, on pourrait, pour en 

 obtenir le développement suivant les puissances de sin x, faire 

 de nouveau usage, comme il va être dit, de formules de ré- 

 duction ; ces formules pourraient d'ailleurs servir aussi, presque 

 sans changement, au développement suivant sin 2 x, et de plus, 

 pour les coefficients différentiels impairs, au développement 

 x 



suivant sin — . Supposons qu'en général pour une certaine 

 valeur de p on ait déjà trouvé 



d xv 1 



