120 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES 



où le coefficient Np. n est donc une fonction connue de l'indi- 

 cateur de rang n, tandis que, comme on va le voir, pour p 

 impair on a toujours a = 0 et pour p pair toujours a — 1 ; on 



obtient alors, en différentiant deux fois : ^= — , à savoir : 



dxP + 2 



oc 



«n* + = 5 = 



ce 



= ^3 ( 2?l + a )^° ■ w ! (2n+-a— l)sm2» +' l — 2 x(l-sln 2 x)-sin^+ ! x \ — 

 o 



00 



=s 23 ( 2 ^ + « — 1) (2 w -i- «) sm 2 »+«~2 a; — 

 0 



00 



— 23^ 2 n «) 2 iV^ .sm 2 ^'^, 

 o 



et par conséquent, en remplaçant n par ?i -+- 1 dans le pre- 

 mier terme du dernier membre, puis égalant entre eux les 

 coefficients de sin 2/l + a x dans les deux membres extrêmes : 



N p+ 3.n — (2 n +a + l) (2 (2 ?i+«) 2 



Ou séparément : pour p impair, remplacé par 2 p + 1 , 



Nzp+z.n— (2 n -h 1) (2 n -h 2) - (2 n) 2 JV^+i.*; 



et pour p pair, remplacé par 2 p, 



N2p + 2.n~@ n + 2) (2 n + 3) JV^+i — (2 n + l) 2 



tandis que dans ce dernier cas on peut encore introduire 

 utilement, suivant 



A7 1.3.5... (2/1 — 1) 



= 2.4.6 (2 ^) * 8 '-" ' 



des fonctions plus simples N', pour lesquelles il vient alors 

 N 2 p+2.n=(2 n + 1) | (2 7i + 3) # V»+l — (2 7* + 1) N's,.u\. 



