POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 121 



On a donc en général les deux types 

 et 



dfrtgx V^l.3.5. ..(2n — 1) . ■ 



d x 2 p 2.4.6 (2 n) 1 



Partant maintenant, pour p = 0, des développements suivant 



d to x 



sinx assignés plus haut à tgx et à ^ , c'est-à-dire de 



iV r/ o.» = l pour le second type et de iVi. w = l pour le pre- 

 mier ; puis appliquant alternativement les formules de réduc- 

 tion qui viennent d'être trouvées pour les fonctions N r 2p+ 2. n 

 et iV2p+3.w, on obtient pour les deux types en question: 

 N'2.n = 2 (2 n + 1) (en accord avec la valeur déjà calculée 



directement pour ^ ) , 



dx 1 



Ns.n = 2(3n + l), #'4.* = 1 6 (2 n + 1) (w -h 1), 

 Zft.» = 4 (15 ?i2+15 »+4), ^ , 6.«=16(2 rn-l)(12 n2 + 28 w+17), 



Nn.n = 8 (105 n« + 210 4- 147 n 4- 34), etc. 

 On voit que ces fonctions se compliquent assez rapidement 

 et ne suivent, ni l'une ni l'autre, quelque loi bien apparente ; 

 or, par là se trouverait annihilé, et au-delà, l'avantage qu'of- 

 frirait l'emploi des coefficients différentiels ascendants de tg x } 

 à savoir de donner, pour le coefficient général des tangentes, 

 des formules qui seraient composées d'un nombre de plus en plus 

 petit de termes en n et qui contiendraient en outre, dans chacun 

 de ces termes, des puissances de moins en moins élevées. 

 Aussi, renonçant à poursuivre cette voie, nous nous bornerons 

 à mentionner que du troisième coefficient différentiel, relati- 

 vement encore simple, 



00 00 



~^~r = N>è - /l s ^ n2n x = 2 ^0 ( 3 ^ -h 1) s ^ n2n x > 



