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F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES 



particulière de Stern — mais non ses deux relations géné- 

 rales — avait déjà été signalée avant lui par M. L. Seidel, 

 Ueber eine einfaehe Entstehungsweise der Bernoullï 'schen Zahlen 

 und einiger veriuandten Reihen, dans Sitzungsberichte der mathem,- 

 physik. Classe der Je. b. Akademie der Wissenschaften zu Miïnchen, 

 T. 7,1877,^57— 1870(vofrin& 



On peut d'abord remarquer, à propos de ce dernier système, 

 que les coefficients numériques d'un même nombre de Ber- 

 noulli, dans les lignes horizontales successives, se laissent 

 déduire l'un de l'autre d'une manière simple, de sorte que, 

 pour l'ensemble du système, il serait facile d'inscrire ces 

 coefficients suivant leur ordre successif, en lignes obliques 

 parallèles. En effet, on a vu tout à l'heure que le coefficient 

 du (r 4- l)ièœe terme de la g ième ligne horizontale, c'est-à-dire 

 (abstraction faite du signe) précisément le coefficient du terme 



général B2 q —2r—i } avait pour valeur (2g— 2r+l) — — --^ — - ; 



(2r+l)î(g — 2r)\ 



or, si dans cette valeur g et r sont simultanément augmen- 

 tés de l'unité, on reconnaît que le coefficient du même terme 

 B2q—2r~i placé obliquement au-dessous dans la ligne suivante 



est égal à (2g — 2r+l) 7 ~ — "^J — ttt et par conséquent 

 (2r-h3)!(g — 2r— 1)! 



(2*+2)\^+ 3 ) f ° iS aUSSi grand ' Si °)»'(2+ 1 » r = 1 )» 

 {q + 2, r = 2), etc., (2 q — 1, r = q — 1), (2 q, r = q), pris en 

 guise de coordonnées rectangulaires, indiquent les coefficients 

 numériques du même nombre bernoullien B^q-i dans les 

 q -+- 1 lignes successives dont ce nombre fait partie, chacun 

 de ces coefficients numériques doit donc, pour fournir le 

 suivant, être multiplié par 



(g+l)g (g+2)( g-l) (g + 3)(g-2) (2g)(l) _ 1 Q 



~T3~' 475 ' 677 ' etC "(2g)(2g-HÔ~2g+r U * 



C'est ainsi, par exemple, que pour g = 4, c'est-à-dire pour les 

 cinq coefficients 9, 30, 27, 9, 1, dont est successivement 

 affecté B 7 , on a: 



